אוריינות מתמטית בגן=הילדים- תי
אוריינות מתמטית בגן=הילדים- תי

ד"ר חוה תובל

פעילויות המיון והרכבת סדרות הן מהמקובלות והנפוצות בגני=הילדים. סביר להניח כי זאת תוצאה של תרגום דידקטי של תורת פיאז'ה שהגיעה לגן=הילדים במקומות רבים בעולם כולו. הטיעון של פיאז'ה הוא שהיסוד לתפיסת מושג המספר היא הבנת העקרונות הלוגיים - מיון וסדירה (Seriation), עליהם המושג מושתת (Piaget, 1965).

ילדים עסוקים במיון וסדירה עד היום כי יש מי שחושב שיש קשר בין פעילויות אלה והתפתחות מושג המספר. קיימת גם האפשרות שרוב הנותנים היום פעילויות מסוג זה לילדים ויוצרים משחקים וחומרי לימוד הקשורים בהם לא נותנים לעצמם דין=וחשבון לגבי הרציונל העומד מאחוריהם, אלא פשוט ממשיכים מסורת מקובלת.

בשנות האלפיים בוודאי הגיע הזמן לשאול מחדש מהי המטרה של אוריינות מתמטית בגן=הילדים ולבחון כל פעילות האם היא תורמת להשגת המטרה.

מחקרים רבים מאוד נעשו בשלושים השנים האחרונות בתחום ההתפתחות הקוגניטיבית בכלל ובהתפתחות החשיבה המתמטית בפרט. חובתנו להתייחס לממצאי המחקר כאשר אנו מתכננים את עבודתנו החינוכית.

במאמר זה אתייחס לגישות להתפתחות הקוגניטיבית, שהתבססו בעקבות המחקרים וממצאיהם ולהשתמעויות הנגזרות מהן לעבודה החינוכית בגן=הילדים.

גישות תיאורטיות:

שלוש גישות תיאורטיות עיקריות מציגות שלוש גרסאות שונות של תהליך ההתפתחות הקוגניטיבית של ילדים.

הגישות נבדלות זו מזו בשני ממדים עיקריים. האחד הוא מידת הכלליות של מבנים ותהליכים התפתחותיים. כלומר, האם התפתחות היא תלושת תחום (מתרחשת בקצב אחיד בתחומים שונים) או תלוית תחום (מתרחשת בקצב שונה בתחומים שונים). המימד השני בו נבדלות הגישות הוא מידת האוטונומיה של תהליך ההתפתחות. כלומר, באיזו מידה תלויה ההתפתחות בסביבה.

· גישתו של פיאז'ה מתארת התפתחות כתהליך כללי שאינו תלוי תחום. כלומר, ההתפתחות בכל תחום ותחום תלויה במבנים מרכזיים. לגבי מושג המספר פיאז'ה טען כי התפתחותו של הידע הלוגי=מתמטי קשורה קשר אמיץ בהתפתחות הקוגניטיבית הכללית.

גישה זו, המכונה קונסטרוקטיביסטית, תופשת למידה כתהליך של בניית ידע על=ידי חקירה עצמאית המתנהלת בפעילות גומלין בין הילד והסביבה. פועל יוצא מכך הוא שפיאז'ה לא ייחס כל חשיבות לפעילות המנייה ולהכרת מילות המספר בהמשגת המספר. הוא ראה במנייה מיומנות שהילד רוכש באמצעות שינון, פעילות מכנית, שכל עוד הילד אינו מבין את מושג המספר מהווה מלל ריק. לדעתו, היסוד לתפיסת מושג המספר הוא הבנתם של העקרונות הלוגיים: מיון וסדרתיות (Seriation), שעליהם המושג מושתת (Piaget, 1965). המשך לעמדה זו קיים היום אצל  ממשיכיו  של  פיאז'ה.  קאמי (Kamii, 1989)  טוענת כי השימוש במילות מספר או בסיפרנים1 הוא משמעותי מבחינת הילדים לאחר בנייתם את מושג המספר.

· הגישה הנטיביסטית גורסת שהתפתחות קוגניטיבית איננה תהליך כללי, אלא אוסף של תהליכים הסתגלותיים (adaptive), אשר התפתחו במשך האבולוציה ואשר מאפשרים לילדים לרכוש סוגי ידע ספציפיים ומועילים במיוחד, באמצעות מנגנוני למידה ייחודיים (Fodor, 1983). כלומר, עקרונות הלמידה החלים בכל תחום ותחום אינם דומים. קיים קונסנסוס די רחב שזה המצב לגבי תחום השפה, המספר והתכונות הפיסיקליות של עצמים (Gelman, R., and Baillargeon, R., 1983). בתחום תפיסת המספר, מחקרים רבים ומרשימים (Starkey & Cooper, 1980; Strauss & Curtis, 1981; Wynn, 1992a, 1996) מראים כי לילודים יש יכולת להבחין בין שניים לשלושה עצמים ובין שניים לשלושה צלילים. קסו וספלקה הראו כי תינוקות מסוגלים להבחין גם בין שמונה לשישה=עשר עצמים (Xu & Spelke, 1997). דהאן (Dehaene, 1997) טוען שמוחם של ילודים מצויד בחיישנים מספריים, שמהווים מערכת מולדת לתפיסת גודל (magnitude) ומשך זמן. המערכת הפרוטו=מספרית הזו משותפת לתינוקות אנושיים, למבוגרים ולסוגים אחרים  של  בעלי= חיים. 

האם היכולת לתפוס מספר זהה ליכולת למנות?

                                     

1 סיפרן: מונח המציין את הסמל למספר, הכתוב באמצעות ספרות. במערכת הכתב הערבית קיימות עשר ספרות (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) אשר באמצעותן ניתן לייצג אינסוף מספרים. קיימים סיפרנים חד=ספרתיים (5, 8 לדוגמה), דו=ספרתיים (34, 78); תלת=ספרתיים (300, 946) וכו'.

היכולת למנות מחייבת יישום של חמישה עקרונות: 1. עיקרון ההתאמה החד=חד ערכית. לכל עצם בסדרת העצמים הנמנים יש להתאים מילה אחת, ואחת בלבד, מתוך רצף מילות המנייה. 2. העיקרון האורדינלי. לרצף מילות המנייה חייב להיות סדר קבוע. 3. העיקרון הקרדינלי. המילה האחרונה בסדרת מילות המנייה מייצגת את הערך הכמותי של אוסף החפצים שנמנו. 4. עיקרון ההפשטה. ניתן למנות עצמים בקבוצה הטרוגנית. 5. עיקרון החילוף. הסדר של העצמים הנמנים אינו רלבנטי לפעולת המנייה (Gallistel & Gelman, (1992.

גלמן וגליסטל טוענים שעקרונות אלה הנם מולדים.

תפיסת המספר, לעומת זאת, לא מחייבת מנייה. ניתן, למשל, לזהות כמויות קטנות בדרך של "זיהוי מערך" ויזואלי (pattern recognition). (Davis & Perusse, 1988).

גלמן וגליסטל (Gelman & Gallistel, 1997) טוענים כי יש המשכיות בין מנייה פרה=ורבאלית לבין מנייה סימבולית (מילולית).

· הגישה החברתית=תרבותית מתארת את תהליך הלמידה כתהליך בו הילד הופך כלים תרבותיים לקניינו על=ידי משא=ומתן עם הסביבה (Vygotsky, 1978). התפישה הזו שונה מהתפישה האמפיריציסטית הרואה את הסביבה כמקור הידע. על=פי גישה זו השתתפותם של ילדים כשותפים פעילים בעשיות חברתיות מזמנת פעילות גומלין אשר במהלכה הילדים מפנימים מושגים ורוכשים מיומנויות הודות למשא=והמתן לבניית משמעות, המתרחש באותם אירועים.

לגבי מושג המספר, טוענת פוסון (Fuson, 1988) שעקרונות המנייה שהציעו גליסטל וגלמן (Gallistel & Gelman, 1992), אינם מולדים אלא מופשטים מתוך הסיטואציות הקונקרטיות שבהן לומד הילד למנות. תחילה, הילד מחקה מתוך משחק את האופן שבו מבוגרים וילדים גדולים ממנו מונים: הוא משמיע סידרה של מילות מספר (לאו דווקא בסדר קונבנציונאלי או קבוע) ונוגע, תוך כדי כך, בעצמים שונים. בשלב זה, הילד מכיר את המילים "אחת", "שתיים" ו="שלוש" כמילים שמתארות כמויות שהוא מזהה. בשלב שני לומד הילד למנות עצמים מסוימים, המסודרים בסדר קבוע, במספר מוגבל של מצבים קונקרטיים. רק לאחר שהילד מתנסה במספר מספיק של מצבים כאלה בהקשרים חברתיים שונים ומגוונים, הוא מפשיט את עקרונות המנייה. ייתכן שהקשרים שבין הכמויות שהילד מסוגל לזהות ללא מנייה ובין המילים הראשונות בסדרת מילות המספר שהילד מכיר עוזרים לו בתהליך ההפשטה. עד שהילד מפשיט את עקרונות המנייה, ניתן לראות ילדים שמונים נכון, אולם אינם יכולים לומר כמה חפצים מנו (העיקרון הקרדינלי). פיאז'ה התבסס על עובדה זו כמצביעה על כך שהמנייה בשלב זה היא מלל ריק. על=פי הגישה החברתית=תרבותית התנהגות זו מראה על תהליך ממושך של הפנמת הכלים התרבותיים על=ידי ילדים. בשלב מאוחר יותר ניתן לראות ילדים שמסכמים את המנייה במילה האחרונה, אולם באופן סתמי, בלי להבין שרצף מילות המנייה חייב להיות קבוע ובלי להבין את תרומתו לקביעת הכמות הנמנית.

במסגרת הגישה הסוציו=תרבותית, יש לשליטה במילות המספר תפקיד בהקניית מושג המספר. ווין (Wynn, 1992b) מצביעה על הבדל משמעותי בין מנייה לא מילולית לבין מנייה באמצעות סמלים מילוליים: במנייה אנושית באמצעות סמלים מילוליים נעשה שימוש בסמלים שרירותיים כדי לייצג מספרים, כגון מילות מספר או סיפרנים. סמלים אלה מייצגים כמויות באופן מופשט, באמצעות מקומם ברצף מילות המנייה. כך, המילה שמייצגת "עשר" איננה ארוכה יותר או רבה יותר מן המילה שמייצגת "ארבע". מקומה ברצף מילות המנייה נקבע באופן שרירותי. סמלים מילוליים מהווים רכיבים בדידים אשר ניתן לעשות בהם מניפולציות פורמליות.

חשוב להדגיש פעם נוספת את ההבדל בין הגישה הזאת לגישה האמפיריציסטית: אין מדובר פה על הפנמה דרך החושים, אלא על הפנמה כתוצאה של שותפות פעילה באירועים בהם נדרשים הילדים למנות על=מנת להשיג את יעודה של העשייה. ילדים אינם רוכשים מושגי מספר על=ידי "בנייה מבפנים" (“construction from the inside”), כפי דבריה של קאמי (Kamii, C. 1989, p. 3), אלא על=ידי בנייה שהיא תוצר של מיגוון התנסויות בהקשרים חברתיים=תרבותיים שונים ומגוונים. יש הסבורים (Stigler, 1984) כי קשייהם של ילדים בשלבים המוקדמים של המנייה נובעים מההתמודדות עם המערכת המספרית הוורבלית, שהיא סמלית לחלוטין.

מילר (Miller, 1996) טוען שהיכולות המתמטיות של ילדים אינן מקשה אחת. הוא מציע מודל המציג שלושה רכיבים: 1) יכולת סמלית האחראית להתמודדות עם המערכת הסמלית ככלי המדגיש היבטים מסוימים של התחום המיוצג; 2) יכולת אלגוריתמית או פרוצדוראלית האחראית להפעלת אלגוריתמים או רצף קבוע של צעדים שמשמשים לפתרון של בעיות מסוימות כגון מנייה; 3) יכולת מושגית האחראית להכללת עקרונות כגון "כשמוסיפים הכמות גדלה...", שימור המספר ועוד.

לשלושת סוגי היכולות תפקיד מכריע בביצועם של ילדים בתחום המתמטי, בניגוד לטענותיהם של פיאז'ה והנטיביסטים, המדגישים את היכולת המושגית. מילר רואה ב"מילות המספר" כלים סמליים שעשויים לסייע להתפתחות החשיבה המתמטית. כשמשווים שפות שונות, לדוגמה: אנגלית, עברית וסינית, רואים שהן משקפות את מבנה הבסיס העשרוני במידה שונה של עקביות ובהירות.

שמות המספרים עד 9 מהווים רשימה ללא ארגון שיטתי. מעל 10, המערכת הסינית (הדבורה) מבטאת באופן ישיר את המבנה העשרוני. לדוגמה: תרגום מילולי של 14 לסינית, הוא "עשר ארבע". בסינית משיימים בעקביות את הערך הגדול לפני הערך הקטן. השימוש ביחידות לציון מספר העשרות הנו עקבי לחלוטין. למשל, 21 בתרגום מילולי הוא: שני=עשר=אחד. בעברית ובאנגלית, כמו גם בשפות אירופאיות אחרות, מערכת מילות המספר שקופה פחות. לדוגמה - במספרים הדבורים 14 ו=24 אין עקביות ב"סדר האמירה" של האחדות והעשרות. במילה "ארבע=עשרה" ה"עשר" מופיע שני ואילו במילה "עשרים=וארבע" הוא מופיע ראשון. בנוסף על כך, במילה "עשרים" לא ניתן לשמוע "שתי עשרות" ובמילה "ארבע=עשרה" לא ניתן לשמוע "עשר ועוד ארבע", כל זאת, בניגוד לשפה הסינית. מילר ושותפיו (Miller & Stigler, 1987; Miller et al., 1995) מצאו הבדלים במטלות מנייה בין ילדים דוברי סינית ובין ילדים דוברי אנגלית כשהם מגיעים לעשרת השנייה, בין גיל 3 ל=4 שנים, ובהבנת המבנה העשרוני בגיל 6 שנים. לא נמצאו הבדלים בשימוש במנייה לשם פתרון בעיות, או בהבנתם של עקרונות המנייה הבסיסיים. במחקר של דוקרל ותובל (2001) נמצא כי השימוש בסיפרנים אצל ילדים בני שלוש עד חמש וחצי תלוי בהקשר בו הם מתבקשים לרשום מהו התפקיד של הסיפרנים במטלה.

תובל וגוברמן (בדפוס) ערכו מחקר אשר מטרתו הייתה לבדוק את התפתחותה של היכולת למנות חפצים ואת הקשר שבין יכולת המנייה לבין השליטה במילות המספר אצל ילדים.

יכולת המנייה של ילדים בני ארבע וחמש שנים נבדקה באמצעות משימות שבהן הילדים התבקשו למנות בפועל (משימות מנייה) ובאמצעות משימות שבהן הילדים נדרשו לשפוט פעולות של מנייה שנעשו על=ידי אחרים (משימות שיפוט). הן בדקו את יכולתם של הילדים למנות סדרות של חפצים ואת השפעת גודלה של הסדרה הנמנית והארגון המרחבי של החפצים הנמנים (שורה, מעגל, תפזורת או שקית) על הביצוע של הילדים. הממצאים מראים (על=פי המשוער) שהביצוע בסדרות הקטנות טוב לעומת הסדרות הגדולות וכי מנייה בשורה טובה ממנייה במעגל או בתפזורת. ילדים שהתקשו למנות שבעה פולים בתפזורת, הצליחו למנות יותר מעשרה פולים שהוציאו בזה אחר זה מתוך שקית. עם הגיל חלה עלייה הדרגתית ביכולתם של ילדים למנות חפצים ולזהות מנייה נכונה ושגויה. נראה שרק הדרישה להתמודד עם סדרות גדולות מעמידה במבחן את יכולת המנייה של הילד. את ההבדל בביצועם של הילדים במנייה של סדרות גדולות וקטנות (למרות היכרותם עם מילות המספר הנחוצות להם במטלה) ניתן להסביר לפי גלמן במונחים של יכולתם הפרוצדורלית של הילדים המאפשרת להפעיל אסטרטגיות מנייה מתאימות וליישם את עקרונות המנייה. זאת, לצד התפתחות השליטה ברצף מילות המספר בשפה, אשר מאפשרת לילד למנות יותר עצמים ולהפנות תשומת=לב מהניסיון להיזכר במילים הנכונות, להתמודדות עם שאר מאפייני המשימה (כגון - הצורך להבחין בין פולים שנמנו לפולים שטרם נמנו). הבעיה היא שאין גלמן מסבירה כיצד מתפתחת היכולת הפרוצדורלית של ילדים עם הגיל. סופיאן (Sophian, 1998) טוענת כי לשם כך נחוצה תיאוריה שתסביר את ההתפתחות של הידע המתמטי של הילד כתהליך למידה תלוי=תרבות. במחקרם של תובל וגוברמן נמצא כי הביצוע של הילדים במטלות המנייה הושפע מן המעמד הסוציו=תרבותי ומן הגן שבו הם למדו. ילדים שלמדו בגנים מסוימים, הגיעו להישגים גבוהים יותר מילדים שלמדו בגנים אחרים. ממצאים אלה מצביעים על החשיבות של הסביבה החינוכית, בנוסף על ההבשלה שתלויה בגיל.

גישה משולבת

דהאן (Dehaene, 1992, 1997; Dehaene et al., 1999) טוען כי יש לפחות שני אופנים שונים לטיפול במשימות מתמטיות. האופן האחד הוא מדויק ותלוי=שפה. האופן האחר הוא מקורב, ויזואלי=מרחבי ועצמאי משפה. האופן המקורב משותף לבני=אדם, לתינוקות ולבעלי=חיים.

לדעתו של דהאן, הפרט משתמש באופנים השונים בהתאם למשימה שלפניו. חיבור של מספרים דו=ספרתיים, למשל, נערך באופן המדויק. דהאן ואחרים (Dehaene et al., 1999) מצאו שבביצוען של משימות השייכות לאופנים השונים פעילים אזורים שונים של המוח. לדעתו של דהאן (Dehaene, 1992, 1997) אין ספק שמנייה דורשת שליטה בשפה ועל כן מערבת את האופן המדויק. לדעתו, בהחלט ייתכן שהאופן המקורב משתתף גם הוא במשימות מנייה.

דאוקר (Dowker, 1998) טוענת שלילדים יכולות מתמטיות שונות ומגוונות: היכולת למנות חפצים בהצלחה מסתמכת על זיכרון לטווח ארוך של מילות המספר, על היכולת לשלוף אותן ברגע הנכון, על היכולת לשמור בזיכרון המרחבי לטווח קצר את הפריטים שנמנו בנפרד מן הפריטים שטרם נמנו, על היכולת לתאם בין הפריטים הנמנים למילים שמציינות אותם, על היכולת להעריך מראש את תוצאת המנייה ולבקר את התוצאה שמתקבלת בסופו של התהליך, ועוד. חלק מן היכולות הללו עשויות להיות מולדות, אולם על הילד ללמוד כיצד להשתמש בהן באופן משולב, כדי למנות.

לסיכום, על=פי הגישה המשולבת ניתן להתייחס ליכולת המתמטית כמורכבת מיכולות רבות. אלה מושתתות על יכולות מולדות אך מתפתחות הרבה מעבר להן, הודות לפעילות הגומלין של הילדים עם הסביבה בהקשרים חברתיים=תרבותיים שונים. הידע הסמלי, המושגי והפרוצדורלי מעורבים שלושתם בהתפתחות החשיבה המתמטית: לכל אחד תרומה חשובה. עם הלמידה עולה החשיבות של יכולות מסוימות והחשיבות של יכולות אחרות יורדת. כך, למשל, עם הגיל ניתן לראות יותר שליפה של ידע מן הזיכרון לטווח ארוך והשימוש בעזרים לצורך מנייה יורד (Grupe & Bray, 1999).

היישום בגן

על=פי הסקירה הנ"ל בולטת העובדה שמושגיהם של ילדים הם הרבה יותר מתוחכמים מאשר הניחו בעבר, כאשר קיבלו את התיאור המשותף לפיאז'ה ולפרויד של הילוד אשר עולמו הוא תוהו ובוהו ברגע היוולדו. לאור עובדה זו מתעורר הצורך להבטיח את המיצוי של יכולותיהם של ילדים צעירים בתהליך החינוך שלהם מהשלבים המוקדמים, תוך שמירה על האופי הייחודי של העשייה הגנית.

במחקרים על התפתחות מושגים נמצא כי קיים קשר הדוק בין מושגים מוקדמים של ילדים לבין ה"תיאוריית המתהוות" אצלם. לכן, נדרש מאתנו כמחנכים להתגייס ולסייע לילדים להתגבר על תיאוריות שגויות. בקרבנו נפוצות לא מעט תיאוריות כאלה. על המחנכות בגיל הרך להשקיע מאמץ מיוחד על מנת להקפיד ולהשתמש במונחים נכונים בגן. ידוע כי חלק מאותן "המשגות שגויות" (misconceptions) משתרשות ומתמידות עד שלב הבגרות (Gelman, S., 1999). בתחום המושגים המתמטיים קיימת בעיה מיוחדת בגלל השימוש הנעשה במילים מסוימות הן כמונחים מתמטיים והן כמונחים יומיומיים. הבעיה נוצרת מפני שהמשמעות אשר אותן מילים מקבלות בשפת היומיום אינה זהה למשמעות שיש להן בשפה מתמטית. מילים כמו  מלבן, מרובע,  אלכסון, מעוין, שווה ועוד, מקבלות אצל הילדים משמעות אשר מטרפדת את בנייתם של המושגים המתמטיים הקשורים בהן. אם כך, אחד האתגרים המרכזיים העומדים מול המחנכים בגיל הרך הוא להפגיש את הילדים עם מושגים מתמטיים במצבים בהם יהיה קל לילדים לעמוד על ההבדלים בין השימוש היומיומי של המילים המוכרות להם לבין שימושם המתמטי. כדי להבהיר את הנקודה, אביא דוגמה לפעילות כזאת ואנתח אותה. מדובר במשחק שנקרא "מסיבת מרובעים"*. יש שומר סף וכל ילד מכין צורה כדי שהיא תיכנס למסיבה.  יש  הזמנה  המנוסחת  בכתב.  לדוגמה;  מוזמנים למסיבה רק המצולעים בעלי ארבע צלעות. פירוש הדבר כי על השומר לבדוק שתי תכונות אצל המוזמנים הפוטנציאליים:  · היותו מצולע (קו שבור סגור); · היותו  בעל  4  צלעות  בדיוק.  אפשר

                                               

* מריון וולטרס, שהייתה פרופסור אורחת מארצות=הברית, המציאה פעילות זאת. המסיבה יכולה, כמובן, להיות של כל צורה או ייצור שיוחלט.

לתת לילדים לבחור מספר מסוים של צורות מתוך הקופה והמנצח הוא זה שמצליח להכניס למסיבה את מספר המוזמנים הגדול ביותר. "אמנות" המנחה היא בבחירת הצורות שבקופה. היות וידוע לנו כי אצל ילדים מאוד נפוצה התפישה של מרובע כ=רבוע ולא רק  מרובע כ=רבוע, אלא כרבוע ב"תנוחה" מסוימת: עומד על צלע ולא על קודקוד. עם בחירת מיגוון צורות מתאים ל"קופה", המשחק המוצע מאפשר לילדים לבחון מרובעים שונים ומגוונים אשר אינם מתאימים לסטריאוטיפ של מרובע הקיים אצלם.

ההתמודדות העומדת לפני הילדים היא הוגנת מפני שהיא דורשת רק מנייה והיכולת לעמוד בכללי המשחק ולהתגבר על ה"מושג" שקיים אצלם. דוגמה זאת מראה כי אפשר לעסוק בתכנים מתמטיים בגן=הילדים מבלי לעשות זאת בצורה דידקטית יבשה, בלתי מהוקשרת מבחינתם של הילדים, אלא בהקשר של משחק שמבטיח מוטיבציה מבלי להקריב או לעוות כלל וכלל את המושג/ים המתמטי/ים.

האתגר הנוסף העומד מול המחנכים בגיל הרך הוא להשכיל ולהפגיש את הילדים עם שפע המושגים והמיומנויות המתמטיים כאשר אלה מעצימים את פעילות הגומלין של הילדים עם הסביבה.

אוריינות מתמטית היא היכולת של אדם להשתמש בשפה מתמטית לצורך פעילות גומלין יעילה עם הסביבה ו/או עם עצמו.

כאשר ילדים מונים, רושמים סיפרנים, משווים כמויות, מודדים, ממיינים צורות גיאומטריות, מחשבים תוצאות של חיבור וחיסור - כל אלה יכולים להוות מטרה בפני עצמה או אמצעי המאפשר או מייעל השגתה של מטרה אחרת, בה הילדים מעוניינים או זקוקים לה. הם יכולים להיות חלק של יחידת עשייה משמעותית, אשר בה ברורה ללומדים מטרת העשייה. הילדים תופשים את ההצדקה שבעשייה לאור תכלית מסוימת ולא תופשים אותה כעשייה סתמית ולא מובנת שתכליתה הבלעדית, מנקודת מבטם של הילדים, לרצות מבוגר.

עיסוק במושגים מתמטיים ובמיומנויות הקשורות בהם בגן=הילדים מן הראוי שיתרחש בהקשרים המשרתים תכלית/יעד שהילדים מעוניינים בהם ושהילדים מרגישים שהפעילות המתמטית אכן משרתת אותם. אחרת, יתממש התיאור של פיאז'ה על ילדים העסוקים במנייה (ופעולות אחרות) כפעולה מכאנית המערבת מלל ריק.

ביבליוגרפיה

ברמן, ר', ושגיא, י' (1981). על דרכי תצורת=המילים וחידושן בגיל הצעיר. בלשנות עברית חפ"שית, 18, 59-31

תובל, ח' וגוברמן, ע' (בדפוס). יכולתם של ילדים למנות חפצים. מגמות

Baroody, A. J. (1984) More precisely defining and measuring the order-irrelevance principle. Journal of Experimental Child Psychology, 38, 33-41

Briars, D., & Siegler, R. S. (1984) A featural analysis of preschooler’s counting knowledge. Developmental Psychology, 20, 607-618

Davis, H., & Perusse, R. (1988) Numerical competence in animals: Definitional issues, current evidence and a new research agenda. Behavioral and Brain Sciences, 11, 561-615

Dehaene, S. (1992) Varieties of numerical abilities. Cognition, 44, 1-42

Dehaene, S. (1997) The number Sense. New York: Oxford University Press

Dehaene, S., Spelke, E., Pinel, P., Stanescu, R., Tsivkin, S. (1999) Sources of mathematical thinking: Behavioral and brain-imaging evidence. Science, 284, 970-974  

Dowker, A. (1998). Individual differences in normal arithmetical development. In: C. Donlan (Ed.) The development of mathematical skills. Hove: Psychology Press (pp. 275-302)

Elbers, E. (1991) The development of competence and its social context. Educational Psychology Review, 3, 73-94

Fodor, J. A. (1983) Modularity of mind. Cambridge, Mass.: M.I.T. Press

Frye, D., Braisby, N., Love, J., Maroudas, C., Nicholls, J. (1989) Young children’s understanding of counting and cardinality. Child Development, 60, 1158-1171

Fuson, K. C. (1988) Children’s counting and concepts of number. New York: Springer-Verlag

Gallistel, C. R., & Gelman, R. (1992) Preverbal and verbal counting and computation. Cognition, 44, 43-74

Gelman, R. (1993) A rational-constructivist account of early learning about numbers and objects. In D. L. Medin (Ed.) The psychology of learning and motivation (Vol. 30). San Diego: Academic Press

Gelman, R., and Baillargeon, R. (1983). A review of some Piagetian concepts. In J.H. Flavell and E.M. Markman (eds.), p.167-230. Handbook of child psychology, Vol. 3. New Yok: Wiley

Gelman, R., & Meck, E. (1983) Preschoolers’ counting: Principles before skill. Cognition, 13, 343-359

Gelman, R., Meck, E., & Merkin, S. (1986) Young children’s numerical competence. Cognitive Development, 1, 1-29

Gelman, S. A. (1999). Concept development in preschool children. Dialogue on early childhood science, mathematics, and technology education. American Association for the Advancement of Science, Project 2061

Ginsburg, H. P., Bempechat, J., & Chung, Y. E. (1992) Parent influences on children’s mathematics. In: T. G. Sticht, M. J. Beeler, & B. A. McDonald (Eds.) The intergenerational transfer of cognitive skills (Vol. 2: Theory and research in cognitive science). Norwood, N.J.: Ablex

Grupe, L. A., & Bray, N. W. (1999) What role do manipulatives play in kindergartners’ accuracy and strategy use when solving simple addition problems? Paper Presented at the 1999 Biennial Meeting of the Society for Research in Child Development in Albuquerque, New Mexico

Hollich, G. J., Hirsh-Pasek, K., & Golinkoff, R. M. (2000) Breaking the language barrier: An emergentist coalition model for the origins of word learning. Monographs of the Society for Research in Child Development, 65(3) (Serial No. 262)

Miller, K. F. (1996) Origins of quantitative competence. In: R. Gelman & T. K. Au (Eds.) Perceptual and cognitive development. San Diego: Academic Press

Miller, K. F., Smith, C. M., Zhu, J., & Zhang, H. (1995) Preschool origins of cross-national differences in mathematical competence: The role of number-naming systems. Psychological Science, 6(1), 56-60

Miller, K. F., & Stigler, J. (1987) Counting in Chinese: Cultural variation in a basic cognitive skill. Cognitive Development, 2, 279-305

Piaget, J. (1965) The child’s conception of number. New York: Norton

Rittle Johnson, B., & Siegler, R. B. (1998) The relation between conceptual and procedural knowledge in learning mathematics: A review. In: C. Donlan (Ed.) The development of mathematical skills. Hove: Psychology Press

Saxe, G. B., Guberman, S. R., & Gearhart, M. (1987) Social processes in early number development. Monographs of the Society for Research in Child Development, 52, Serial No. 216

Sophian, C. (1998) A developmental perspective on children’s counting. In: C. Donlan (Ed.) The development of mathematical skills. Hove: Psychology Press

Starkey, P., & Cooper, R. G. (1980) Perception of numbers by human infants. Science, 210, 1033-1035

Stigler, J. W. (1984) “Mental abacus”: The effect of abacus training on Chinese children’s mental calculation. Cognitive Psychology, 16, 145-176

Strauss, M. S., & Curtis, L. E. (1981) Infant perception of numerosity. Child development, 52,  1146-1152

Vygotsky, L. S. (1978) Mind and society: The development of higher psychological processes. Cambridge, Mass.: Harvard University Press

Wynn, K. (1990) Children’s understanding of counting. Cognition, 36, 155-193

Wynn, K. (1992a) Addition and substraction by human infants. Nature, 358, 749-750

Wynn, K. (1992b) Children’s acquisition of the number words and the counting system. Cognitive Psychology, 24, 220-251

Wynn, K. (1996) Infants’ individuation and enumeration of sequential actions. Psychological Science, 7, 164-169

Xu, F., & Spelke, E. (1997) Large number discrimination in 6-month-old infants. In: M. G. Shafto & P. Langley (Eds.) Proceedings of the Nineteenth Annual Conference of the Cognitive Science Society. Hillsdale, N. J.: Erlbaum

 

 

חדשות
דלג על חדשות

חדשות

התחל עצור
8
5/09/2018
הנחיות ליישום הסכם אופק חדש למורי של"ח
8
5/09/2018
עלון 5
8
27/08/2018
בקרת התקן הרב תחומית תיערך אחת ל -5 שנים
8
23/08/2018
הקפאת ניהול עצמי בחט"ב בשנת תשע"ט
8
14/08/2018
מכתבה של מזכ"לית הסתדרות המורים למנהלת האגף ...
שלבי חינוך
דלג על שלבי חינוך
Banners
דלג על Banners
עבור לתוכן העמוד