פתרון בעיות מילוליות בגן
הסתדרות המורים בישראל
פתרון בעיות מילוליות בגן
ד"ר רותי שטינברג

בשנים האחרונות הושקעו מאמצים רבים באגף לחינוך קדם=יסודי במגמה לקדם את תחום הוראת המתמטיקה בגני=ילדים בארץ. יצאה תכנית לימודים המפרטת את הנושאים ללמידה בגן (תכנית המסגרת 1995), חוברו חומרי לימוד לשימוש הגננת והילדים והתקיימו השתלמויות רבות בתחום. בגנים רבים אכן ניתן דגש רב יותר על ההתפתחות המתמטית של הילדים.

במאמר זה ארחיב את הדיון בהתפתחות החשיבה של ילדים בפתרון בעיות מילוליות בגן. אנחנו יודעים היום מהספרות המחקרית בעולם ומהתנסות בגני=ילדים שילדי הגן יכולים לפתור מיגוון גדול של בעיות מילוליות תוך כדי פיתוח אסטרטגיות לפתרון. בעיות מילוליות המתאימות לילדים בגן הן אלו שניתן לייצגן באמצעות כמויות של חפצים. רוב הילדים בגיל הגן זקוקים לעבודה מוחשית עם חפצים, לצורך ספירה ומנייה. חלק מהילדים יתקדמו גם לאסטרטגיות פתרון מתוחכמות יותר שמערבות אסטרטגיות ספירה, כגון "ספירת המשך" ואסטרטגיות מנטליות המבוססות על זיכרון של עובדות בעל=פה. בדרך כלל בכל גן=ילדים נראה ילדים שפותרים בכל שלוש הרמות. כל הדוגמאות המובאות במאמר זה הן התנסויות של ילדים בגילאי 6-5.

בעיות מזדמנות ובעיות מתוכננות

אפשר לחשוף את הילדים לפתרון בעיות מתמטיות בהזדמנויות רבות הצומחות מחיי הגן וגם באופן מתוכנן יותר.

הבעיות המזדמנות בגן יכולות להתרחש בסיטואציות של חלוקה שווה בין ילדים. אם מדובר בפריטי מזון שמחלקים לילדים שווה בשווה, או צבעים או כל פריט אחר הניתן לחלוקה. או למשל אם הולכים לטייל ומסתדרים בזוגות. האם 11 ילדים יכולים להסתדר בזוגות? (האם 11 הוא מספר זוגי?) וכן הלאה. אפשר לעסוק גם במספרים גדולים תוך כדי פתרון בעיות הצומחות מחיי הגן. לדוגמה, אפשר לעסוק באופן רגיל בשאלה כמה ילדים הגיעו היום לגן וכמה ילדים חסרים? למרות שבעיה זו עוסקת במספרים גדולים, אם היא נעשית בהקשר המוכר בגן, היא מתאימה ויימצא הילד שיפתור אותה. כמובן, שצריך להמחיש את מספר הילדים החסרים בדרך כלשהי (אטב לכל ילד, כרטיס  עם  שמו  וכו').  יהיו  ילדים  שלאחר  עיסוק  בשאלה  זו  באופן  רוטיני
                            

מכללת סמינר הקיבוצים והאגף לחינוך יסודי, משרד החינוך

יתחילו לחשב גם בעל=פה. אפשר לאסוף פקקי בקבוקים ולמנות כל פעם כמה פקקים יש וכמה חדשים נוספו. פעילות זו מזמנת מנייה של מספרים גדולים ומניית המשך. אם אתמול היו 32 פקקים והיום הגיעו עוד 17 אפשר למנות את הפקקים החדשים מהאמצע: "33, 34 35..." וכן הלאה עד שנגמרים הפקקים. אפשר לנצל הזדמנויות של מנייה בכמויות גדולות גם לרישום המספרים המתאימים (גם אם הם מספרים דו=ספרתיים). במשך הזמן הילדים יזהו את המספרים מלמידה הזדמנותית זו.

במכלול חיי הגן תמצא כל גננת שפע בעיות מזדמנות בתנאי שמודעותה לעניין אכן קיימת.

בעיות מתוכננות אפשר ליזום סביב הנושא הנלמד, למשל בנושא המשפחה. אפשר לשאול, בקבוצה קטנה של 6-4 ילדים: כמה אנחנו במשפחה? שאלה שאפשר להפנות לכל אחד מהילדים שיחבר את המבוגרים והילדים ויגיע לתוצאה. בעיות אלו מתאימות לילדים שיכולים כבר למנות. גם אם מיומנויות הילדים בספירה ובמנייה אינן גבוהות, אין צורך לחכות למנייה מדויקת כדי לפתור בעיות. המנייה תתפתח תוך כדי פתרון הבעיות.

לילדים בגיל 6-5 בגנים או בחטיבות צעירות אפשר להציע מיגוון של בעיות חיבור וחיסור וגם בעיות כפל וחילוק. אפשר לתת בכל מפגש בעיה מסוג אחר ואחרי זמן מסוים לחזור לסוג שכבר ניתן. אין צורך לתת מספר בעיות מאותו סוג (כגון מספר בעיות חיבור פשוטות). אנחנו לא מתרגלים עם הילדים איך לפתור בעיות, אנחנו מאפשרים להם לפתח את יכולת פתרון הבעיות שלהם ויכולת ההבנה והייצוג של בעיות.

תיווך ועזרה - ילד שלא מבין איך לפתור את הבעיה - אפשר לספר את הבעיה במילים אחרות או לבקש ממנו לספר. אפשר לכוון לאמצעי המחשה (כמויות של חפצים כמו פקקים). אם הבעיה קשה לילד, אפשר לכוון לייצוג חלקים בה. כמו "תראה לי (בחפצים) את שלוש הקופסאות. תראה לי כמה יש בקופסה הראשונה. ובשנייה?" וכן הלאה. חשוב שהגננת לא ממש תראה לילד איך לפתור ובסופו של דבר הילדים יפתרו את הבעיה בעצמם גם כשיש הכוונה, לפחות במידה מסוימת.

תיעוד הילד - החלק החשוב הוא דרך הפתרון של הילד. לפי יכולת הילדים אפשר לבקש מהם גם לנסות לתעד על הדף את דרך הפתרון שלהם. אחרי שהילד פותר בכל דרך שהיא (עם חפצים, עם אצבעות, בעל=פה) הוא יכול להביע את עצמו בציור אמצעי ההמחשה, בציור הסיפור בבעיה, ברישום מספרים, או במילים כתובות (אם הילד כבר יכול לכתוב משהו). (אין הכוונה ללמד את הילדים לרשום תרגילים. זה מופשט לרוב ילדי הגן). לדוגמה, אם הילד ספר בעזרת האצבעות, אפשר להציע לו לצייר את האצבעות ולרשום עליהן את המספרים שהוא אמר בזמן הספירה. כדאי להניח לוח 100 על השולחן (או לוח שנה) כדי שהילדים ייעזרו בהם לכתיבת המספרים.

דיון - אפשר לנהל דיון בו ילדים מסבירים איך הם פתרו. ילדים בגיל זה לא כל כך מורגלים בדרך כלל להקשיב לאחרים ולנהל דיון. כדאי להרגילם לכך בהדרגה. כדאי לשאול שאלות שיעודדו את הילדים לחשוב ויעזרו להם לשמור על קשב. חשוב לתת לגיטימציה לדרכי פתרון שונות של ילדים.

דוגמאות לסוגי בעיות מילוליות שעשויות להתאים לגן

כמובן שצריך להתאים את השאלות לילדים לפי מידת הניסיון והביטחון העצמי שלהם. כדאי להתחיל מבעיות פשוטות ואחרי שהילדים קצת יותר מיומנים אפשר לעבור לבעיות קשות יותר.

1) בעיית חיבור דינמית פשוטה:

לדינה היו 7 מדבקות. היא קיבלה עוד 6 מדבקות. כמה מדבקות יש לה ביחד?

2) בעיית חיסור דינמית פשוטה:

היו בחצר 12 ילדים. 4 ילדים הלכו. כמה ילדים נשארו?

3) בעיית כפל במספרים קטנים:

היו 4 קופסאות. בכל קופסה היו 3 כדורים. כמה כדורים היו ביחד?

4) בעיית חיבור דינמית עם נעלם (שואלים על השינוי).

כדאי לתת את הבעיה לילדים עם ניסיון מסוים בבעיות חיבור וחיסור פשוטות: לדני היו 5 שקלים. כמה עוד שקלים הוא צריך לקבל כדי שיהיו לו 13 שקלים?

5) חילוק לחלקים:

12 ילדים הסתדרו ב3- קבוצות שוות. כמה ילדים היו בכל קבוצה?

6) חילוק להכלה:

12 ילדים הסתדרו 4 ילדים בכל קבוצה. כמה קבוצות היו?

7) לילדים שמרגישים נוח עם כל הבעיות הללו אפשר להגדיל את טווח המספרים (25+15, 17+4 וכו').

מבנה הבעיות המילוליות ודרגות הקושי שלהן

בעיות חיבור וחיסור: כדאי להתחיל משאלות חיבור וחיסור פשוטות דינמיות (שאלות 1 ו=2). כדאי לתת מספר בעיות כאלה כדי שהילדים יתרגלו לייצג את הבעיות עם אמצעי המחשה, ילמדו להמליל את חשיבתם, לתעד אותה בכתב ולקייס דיון. בעיות דינמיות אלו בעיות שיש בהן פועל המתאר עשייה או שינוי ויש בהן שלושה מצבים: מצב התחלתי, שינוי ומצב סופי. אפשר בבעיות דינמיות לשאול על כל אחד מהמצבים וזה למעשה קובע את מיקום הנעלם (האם שואלים על המצב ההתחלתי, השינוי או המצב הסופי). בעיות דינמיות קלות יותר מאשר בעיות סטטיות (בעיות בהן אין פועל) במיוחד בחיסור. הסיבה לכך היא שתיאור השינוי עוזר לילדים להבין מה עליהם לעשות בפתרון הבעיה (להוסיף? להוריד! וכו'). בגן כדאי לתת בעיקר בעיות דינמיות. בעיית החיבור הדינמית עם נעלם (בעיה 4) היא קשה יותר ואפשר לתת אותה לילדים אחרי התנסות. בבעיה זו נתון המצב ההתחלתי (לדני היו 5 שקלים). שואלים על מצב השינוי (כמה עוד שקלים הוא צריך לקבל) ונתון גם המצב הסופי (בסוף יהיו לו 13 שקלים). התייחסות לאסטרטגיות פתרון של הילדים בבעיה זו תבוא בהמשך המאמר.

אי הסתמכות על מילות מפתח: יחד עם זאת חשוב שנעבוד עם הילדים על הבנת כל המשמעות של השאלה ולא נלמד אותם להשתמש במילות מפתח כמו "הוציאו", "באו". פעמים רבות מילות המפתח אינן אמינות וחשוב שהילדים יבינו את משמעות הבעיה במלואה. לדוגמה, בשאלה: "יצאו מהכיתה 4 בנים ויצאו 5 בנות. כמה ילדים יצאו מהכיתה". זוהי שאלת חיבור למרות המילה "יצאו".

בעיות כפל וחילוק: בעיות אלו אינן כל כך קשות גם לילדי גן. בעיית כפל אינה כל כך קשה אם מייצגים אותה באופן מוחשי או בציור. אין הכוונה שהילדים יפתרו את הבעיה בדרך של כפל. הם אמורים להבין את הסיפור, לייצג אותו ולהגיע לתוצאה. רוב הילדים יפתרו על=ידי ייצוג הבעיה בחפצים ומנייה. ילדים שמרגישים נוח גם בכתיבת תרגיל יכולים לכתוב תרגיל חיבור חוזר. (שוב, כתיבת תרגילים אינה מטרה חשובה בגן. החלק החשוב היא ההבנה והיכולת לייצג ולפתור בדרך כלשהי).

בעיות חילוק: יש שני סוגים של בעיות חילוק: "חילוק לחלקים" ו"חילוק להכלה" (ראו דוגמאות בשאלות 5 ו=6). גם לילדים צעירים בגיל הגן יש פעמים רבות ניסיון קודם בחלוקה שווה של דברים בין מספר ילדים. לדוגמה, שלושה אחים מתחלקים בשוקולדים שווה בשווה. אסטרטגיות הילדים שונות בפתרון, במיוחד אם הם פועלים ברמה של "ייצוג ישיר" עם חפצים.

אסטרטגיות אלו תודגמנה מאוחר יותר במאמר עם ניתוח דוגמאות של ילדים.

התפתחות אסטרטגיות פתרון של ילדים לבעיות חיבור וחיסור

קרפנטר ומוזר (1984) מבחינים, על סמך מחקרם ומחקרים של אחרים, בשלוש רמות, השונות מהותית זו מזו, בדרכי הגישה של ילדים לפתרון בעיות שונות בחיבור ובחיסור. הרמות מתארות את ההתפתחות הטבעית של ילדים. אין מדובר כאן על אסטרטגיות שנלמדו בבית=הספר, אלא שהתפתחו על=ידי הילדים עצמם תוך כדי התנסות. להלן הדגמה של הרמות השונות בשאלות חיבור ובהמשך בשאלות חיסור.

אסטרטגיות חיבור:

רמה 1: "ייצוג ישיר" - Direct Modeling

ברמה הראשונה, הנקראת “Direct Modeling” או "ייצוג ישיר", הילד מסוגל לפתור את השאלה המילולית או התרגיל רק אם הוא ממחיש אותה באמצעות חפצים (או אצבעות). הילד זקוק לייצוג של כל איבר בשאלה בלי קיצור דרך. כבר ברמה הבסיסית הזו, אשר בה מתפקדים ילדים רבים בגיל הגן, הילדים רגישים מאוד למבנה הסמנטי של השאלה המילולית והם משתמשים באסטרטגיות פתרון שונות לשאלות בעלות מבנה שונה. הילדים מקשיבים, למעשה, לסיפור שבשאלה ומנסים להמחיזו במדויק. לכן, דרך הפתרון שלהם תהיה שונה, לשאלה דינמית פשוטה של חיבור ולשאלה דינמית בעלת נעלם בחיבור (שואלים על השינוי). בשאלה פשוטה כגון זו המובאת כאן, הילד צייר את פעילותו קודם עם חפצים:

לדנה היו 5 מדבקות.

אמא נתנה לה עוד 4 מדבקות.

כמה מדבקות יש לה עכשיו?

הילד ייצג ברמה זו כל קבוצה לחוד, איחד את הקבוצות ומנה את איברי הקבוצה המאוחדת. בכל שלוש הספירות (קבוצה א', קבוצה ב' והקבוצה המאוחדת) מונה הילד מהמספר 1 (אסטרטגיה זו נקראת גם Count All). לעומת זאת, בשאלה דינמית בעלת נעלם בחיבור (שואלים על השינוי כמו בבעיה 4), כגון: 

לשירה יש 5 דגים  באקווריום.

כמה  דגים היא תצטרך להוסיף כדי שיהיו לה 9  דגים?

 

ברמה  הראשונה של  ייצוג ישיר, הילד פותר את הבעיה על=ידי הנחת 5 חפצים ומנייתם מהמספר 1 עד 5.

אחר=כך הוא מוסיף חפצים, כפי שדורשת השאלה ("כמה תצטרך להוסיף") תוך כדי נתינת מספר לכל חפץ: 6, 7, 8, 9. כדי להצליח בפתרון על הילד להניח את החפצים שנוספו בנפרד מהקבוצה הראשונה.

הילד מפסיק את המנייה, כשהוא מגיע למספר 9 ואז הוא מונה את כמות החפצים שנוספו וזו התשובה. (אסטרטגיה זו ידועה בספרות בשם: "הוספת חפצים  מהאמצע" - Adding On).

 ייצוג ישיר בפתרון בעיית חיבור דינמית עם נעלם

לתמר יש 5 דגים. כמה עוד דגים היא                                     

צריכה לקנות כדי שיהיו לה 10 דגים?

הילד מראה כאן בציור את הדגים בשני צבעים. את החמישה הראשונים (הוא רושם את המספרים 5-1 בתוכם) הוא צבע בצבע אחד. הוא הוסיף חפצים תוך כדי מנייה עד 10 ואחר=כך מנה כמה חפצים הוסיף. הוא פתר את הבעיה עם חפצים לפני הציור. בציור הילד מראה את הדגים שנוספו בצבע אחר. הוא גם רושם את המספרים 5 ו=10. חלק מהמספרים רשומים בכתב ראי וזה מתאים להתפתחות של ילדים רבים בגיל זה (אין צורך מיוחד בהתחלה להתייחס לזה. אפשר לבקש מהילד להסתכל בלוח ה=100 ולראות איך רשומים המספרים).

רמה 2 - אסטרטגיות המבוססות על ספירה

האסטרטגיות המבוססות על ספירה הן יעילות יותר ומערבות צורות ספירה מתוחכמות יותר. הילד הפותר בעזרתן שאלה מילולית או תרגיל מראה גמישות מחשבתית רבה יותר. הוא מסוגל לקיצורי דרך ולייצוג מופשט יותר של הבעיה. במקום לייצג כל איבר בשאלה באמצעות חפצים או באצבעות, הוא מבטא במספר אחד את המחובר הראשון ומתחיל לספור מהאמצע. באסטרטגיה הפשוטה יותר של ספירה מהאמצע מתחיל הילד מהמספר (המחובר) הראשון. בספירה זו הילד משתמש, בדרך כלל, באצבעות. כדי לפתור תרגיל כמו 3+5 אומר הילד 3, מחכה רגע ואז מרים אצבע לכל מספר נוסף ואומר: 4, 5, 6, 7, 8 ומשיב 8. (האסטרטגיה נקראת "ספירת המשך" או ספירה מהאמצע). איך הילד יודע להפסיק במספר 8? איך הוא יודע שכבר נספרו 5 מספרים! למעשה יש כאן "ספירה כפולה". הילד סופר בו=זמנית מסדרת המספרים 4 עד 8 ומסדרת המספרים 1 עד 5 כדי לדעת שנספרו כבר 5 מילות מספר ולכן צריך להפסיק (אצבע אחת זה המספר 4, אצבע שנייה המספר 5 וכו'.

חשיבות האצבעות בהתפתחות "הספירה הכפולה"

האצבעות עוזרות לילד לזהות אם כבר ספר את המספר הדרוש של מילות מספר. ההיכרות החזותית=קינטית של הילד עם אצבעותיו מסייעת לו רבות בתהליך זה. ילדים רבים חושבים על האצבעות תוך כדי הרמתן ושואלים את עצמם "האם כבר הגעתי לחמש אצבעות!" רוב הילדים בסוף הגן או בכיתה א' מכירים אוטומטית ייצוג של מספרים שונים על אצבעותיהם. לאצבעות יש כאן למעשה תפקיד מיוחד, הן משמשות לעזר בביצוע הספירה הכפולה. הן לא בהכרח מייצגות עבור הילד את איברי המחובר השני באופן מוחשי כפי שהדבר נעשה ברמה הקודמת, אלא משמשות כאמצעי חיצוני לסימון כמות מילות המספר שנספרו. יתכן שלא מתבצעת ספירה נפרדת מכל סידרה, אלא ספירה של המספרים 8-4, בדוגמה זו, ואומדנה והערכה בכל שלב - האם כבר הגיעו למספר האצבעות=המילים הדרוש. בכל מקרה, הילד מבצע שני תהליכים בו=זמנית, דבר היוצר עומס מסוים על הזיכרון לטווח קצר. הילדים המפתחים אסטרטגיות אלו עושים זאת בהצלחה ופעמים רבות במהירות רבה. יש חשיבות לאפשר לילדים שפותרים בעזרת אצבעות לעשות כך כי זהו שלב בהתקדמותם. חשוב מאוד לא לשדר לילדים איסור לשימוש באצבעות. בנוסף, הילד המשתמש באסטרטגיה זו, לא צריך לייצג את המחובר הראשון, 3, בחפצים או באצבעות. הוא לא זקוק לראות את כל האיברים בשאלה. הוא מסתפק באמירת המילה "שלוש" המבטאת עבורו את כל הכמות "שלוש".

בבעיית החיבור הזו, הילדה אומנם ציירה את שתי הכמויות של 6 ושל 7 אך במקום פשוט למנות כמה הם ביחד (ייצוג ישיר), היא פתרה בדרך של אסטרטגיית ספירה (רמה 2). היא ספרה ספירת המשך מ=8 ורשמה את המספרים שאמרה. היא לא ציינה שנעזרה באצבעותיה לשם כך כפי שנעשה בדרך כלל בשלב זה. ילד שמשתמש באצבעות, אפשר להראות לו איך לצייר את האצבעות ולרשום עליהן את המספרים שספר (ראו דוגמה בבעיית כפל בהמשך המאמר).

רמה 3 - אסטרטגיות מנטליות

אסטרטגיות מנטליות מבוססות על זיכרון של עובדות הקשורות בחיבור וחיסור. יש שני סוגים של אסטרטגיות מנטליות:

1. זיכרון של העובדה המבוקשת - נתינת העובדה אוטומטית על=ידי "שליפתה" מהזיכרון לטווח ארוך.

2. "עובדות נגזרות" - שימוש בעובדות חיבור הידועות לילד בעל=פה כדי למצוא עובדות לא ידועות. כאן, יש לפעמים שימוש בהשלמה ל=10, שימוש בעובדות של מספרים כפולים לפתור תרגילי חיבור, שההפרש בין המחוברים שלהם הוא אחד או שניים, בדרך כלל, ועובדות אחרות, הידועות לילד.

לדוגמה, הילדה פותרת 8+6 על=ידי זה שהיא אומרת: "6+6 זה 12 ו=8+6 זה 2 יותר מ=6+6 ולכן זה 14" (6+6+2 = 8+6).

אסטרטגיות חיסור

כל שלוש הרמות באות לידי ביטוי גם בשאלות ובתרגילים של חיסור. כאן יש יותר אסטרטגיות בכל אחת מהרמות, מכיוון שיש מיגוון רחב יותר של שאלות מילוליות בעלות מבנה סמנטי שונה מאשר בחיבור. להלן מדגם של דרכי פתרון של ילדים.

רמה 1 - ייצוג ישיר

בשאלת חיסור דינמית פשוטה (שאלת הפחתה דינמית בה שואלים על המצב הסופי), הילד ברמה זו פותר 12-8, למשל, על=ידי ייצוג המספר 12 באמצעות חפצים (או באצבעות עם פתרונות שונים לייצוג השתיים הנותרות מעל 10). אחר=כך הילד מוציא 8 חפצים מתוכם (על=ידי ספירה קדימה מ=1) ומונה את כמות החפצים שנשארו. כל שלוש הספירות שמתבצעות - מתבצעות מהמספר 1 ואין צורך בספירה כפולה. גם כאן הילד ממחיז את הסיפור החשבוני בדיוק לפי מבנה השאלה או התרגיל. (אסטרטגיית "הפרדה" או "הוצאה").

בעיית חיסור פשוטה (דינמית)

בחצר שיחקו 8 ילדים. 5 ילדים הלכו הביתה.                                   

כמה ילדים נשארו בחצר?

הבעיה ניתנה בחודש פברואר. הילדה כבר

כותבת והיא מסבירה את פתרונה במילים,

במספרים כתובים ובציור. היא מסבירה

את הפתרון שביצעה עם פקקים (ייצוג ישיר).

אין צורך לחכות להתנסות רבה בשאלות

חיבור כדי לפתור שאלת חיסור. אם הילד פותר בעזרת חפצים באסטרטגיה של ייצוג ישיר, פתרון של בעיית חיסור לא קשה יותר מבעיית חיבור.

רמה 2 - ספירה

הילדים ברמה זו פותרים שאלות ותרגילי חיסור על=ידי ספירה אחורה או קדימה (פתירת שאלות חיסור על=ידי חיבור). ב"ספירה אחורה", הילדה זקוקה ל"ספירה כפולה" מורכבת אף יותר מהספירה בחיבור. כדי לפתור 8-3, לדוגמה, מתחילה הילדה במספר הגדול, 8, ומראה אצבע לכל מילת=מספר שנאמרת: שמונה, שבע, שש. הספירה מפסיקה כששלוש אצבעות מורמות (כי מורידים 3) והתשובה הניתנת - 5, היא אחד פחות מהמספר שנאמר. על ההסבר, מדוע האסטרטגיה נכונה, אפשר ללמוד מההסברים שנתנו לעצמם הילדים. כדי לעזור לעצמם לא להתבלבל בנקודות ההתחלה והסוף, הם הפכו את מילות הספירה למספרים סודרים: "אני לוקח את השמיני, השביעי, השישי ולכן נשארים חמישה (אחד פחות) והתשובה 5".

באסטרטגיה זו, הילד מבצע ספירה כפולה המתקדמת בשני כיוונים: ספירה אחורה במילות המספר (8 ,7 ,6) וספירה קדימה (1, 2, 3) בו=זמנית כדי לדעת להפסיק את הספירה כששלוש אצבעות מורמות.

אסטרטגיה זו די קשה לביצוע, אם כי הילדים מפתחים אותה בעצמם ומשתמשים בה פעמים רבות ביעילות רבה. הספירה אחורה כשלעצמה - קשה ויש עומס רב על הזיכרון לטווח קצר, כשמתבצעות שתי ספירות בו=זמנית ועוד בכיוונים מנוגדים. זה קשה במיוחד, כשצריך להגיע למספר גדול של צעדים (כמו ב=12-8, למשל). כמו כן קשה להבין, מדוע התשובה היא מספר אחד פחות מהמספר האחרון שנאמר. אסטרטגיה שנייה של "ספירה אחורה" מתחילה עם האצבע הראשונה למספר השני. לדוגמה, עבור 8-3 הילד יכול להרים אצבע ראשונה ולספור "7, 6, 5". דיון במתן הסבר משמעותי לשתי אסטרטגיות אלו נמצא בשטינברג (1989).

באסטרטגיות ספירה קדימה מהאמצע הילדה פותרת שאלה או תרגיל חיסור על=ידי השלמה בחיבור. לדוגמה, לתרגיל 12-8 חושבת הילדה: "8 ועוד מה נותן 12?" ופותרת זאת כמו שאלת חיבור בעלת נעלם. היא אומרת "8 (מחכה רגע ואז מרימה אצבע לכל מילת=מספר שאומרת) 9, 10, 11, 12" ונותנת תשובה 4, מספר האצבעות שהורמו בספירה כפולה.

רמה 3 - אסטרטגיות מנטליות

גם כאן הילדים משתמשים בעושר עצום של אסטרטגיות, המבוססות גם על עובדות חיבור וגם על עובדות חיסור. לדוגמה: 12 = 2+10  ו=10= 2+8 ® 12-8. הילד מתבסס על עובדות חיבור הוא אומר 12-8 ומונה קדימה משמונה 2+8=10 2+10=12 2+2=4 והתשובה היא: 4=12-8.

יש כמה אסטרטגיות מעניינות ביותר, המבוססות על שילוב של זיכרון, עובדות ידועות וספירה.

בעיות כפל וחילוק

בעיות כפל

5 ילדים קטפו תפוחים מהעץ. כל ילד קטף 3 תפוחים.     

כמה תפוחים קטפו יחד?

הילד כאן מצייר את הפתרון (שבנה קודם בחפצים). הוא מצייר כל ילד עם פרטים רבים ו"נותן" לכל ילד 3 תפוחים. הוא מונה את כל התפוחים ורואה שזה 15. הוא גם רושם את התשובה 15 במספר ובמילה. אין צורך להגביל את הילדים במספר קטן מ=10. אם הילד יכול למנות עד 15 אפשר לתת בעיה שהתוצאה בה היא 15. אפשר להראות לילד איך כותבים 15. בשלב זה עדיין אין משמעות של עשרות ויחידות למספר. הילדים מקבלים את צורת המספר כפי שהם מקבלים צורה של מספרים חד=ספרתיים.

היו 3 קבוצות של ילדים.

בכל קבוצה היו 3 ילדים.       

כמה ילדים היו ביחד?

היו 4 מכוניות. לכל מכונית יש 4 גלגלים.

כמה גלגלים שמו על כל המכוניות ביחד?

בקבוק יין אחד מספיק ל= 4 כוסות.                 

לכמה כוסות יספיקו 5 בקבוקים?

בשלוש הדוגמאות הראשונות המוצגות כאן לבעיות כפל, הילדים השתמשו בחפצים או בציור כדי לייצג את הבעיה המילולית במדויק (אסטרטגיה של "ייצוג ישיר".) בדוגמה של בקבוק היין, הילד הבין שה=4 חוזר 5 פעמים. את הסכום של 4 ועוד 4 הילד ידע בעל פה ורשם 8 (גם מעל התרגיל). כדי לחבר את שלושת הארבעות הנוספות הילד השתמש באסטרטגיה של ספירה (רמה 2). הילד השתמש כל פעם באותן 4 אצבעות וספר ספירת המשך: 9, 10, 11, 12. הוא חזר והשתמש באצבעות כדי להמשיך את הספירה: 13, 14, 15, 16 ושוב 17, 18, 19 ו=20. הילד צייר את 4 האצבעות שבעזרתן פתר ורשם מעליהן את המספרים אותם ספר. הוא רשם את תחנות הביניים מעל התרגיל וסימן אותן בעיגול מעל האצבעות.

בעיית חילוק לחלקים                    

אמא קנתה 9 תפוזים.

היא רוצה לחלקם ל=3 ילדיה

בצורה שווה. כמה תפוזים יקבל כל ילד?

שני הילדים שהתיעוד שלהם בכתב מוצג כאן, פתרו קודם את בעיית החילוק הזו עם חפצים. התיעוד בא להראות את התהליך שעברו עם חפצים. בדרך כלל ילדים שפותרים בעיה כזו בדרך של ייצוג ישיר, יקחו 9 חפצים, אולי יסמנו ב=3 חפצים אחרים את הילדים (זה נעשה על=ידי חלק מהילדים) וינסו "לתת" לכל "ילד" כל פעם חפץ אחד. כלומר, יתנו חפץ אחד לכל אחד משלושת הילדים ואחר=כך שוב חפץ לכל ילד, עד ש"ייגמרו" החפצים. אז הם ימנו כמה חפצים "קיבל" כל ילד ויראו שזה 3. לבעיות ראשונות מסוג חילוק להכלה, כדאי לקחת בעיה בה המספרים של מספר הקבוצות והמספר בכל קבוצה שונה זה מזה. בבעיה שהוצגה כאן היו 3 ילדים וכל אחד קיבל 3 תפוזים. זה עשוי קצת לבלבל. אפשר לעזור לילדים עם הזמן לצייר ציורים עם פחות פרטים ויותר סימבוליים.

בעיית חילוק להכלה

לדן היו 12 גלגלים. לכמה מכוניות יספיקו הגלגלים?

ילדים הפותרים בעיה זו בייצוג ישיר פותרים אותה בדרך שונה מאשר את בעיית החילוק לחלקים שמוצגת למעלה. הם בדרך כלל מונים 12 חפצים עבור כל הגלגלים. עבור כל מכונית הם שמים 4 גלגלים עד שנגמרו כל הגלגלים. הם מונים לכמה מכוניות הספיקו הגלגלים. לפעמים הילדים זקוקים לסמן כל מכונית. כאן אנחנו רואים בציור תיעוד של הפתרון. אחרי שהילדה פתרה בעזרת חפצים היא ציירה את הפתרון. כאן היא מציירת את הגלגלים במכוניות בצורה סכמטית ודי מופשטת. רואים כאן גם תחילת כתיבה במילים ואת המספר 3.

ספרות ילדים כפעילות מוצא: הגירוי לבעיה זו בא בעקבות הסיפור "גלגלים" של מיריק שניר. לאחר שלילדים יש ידע מהסיפור כמה גלגלים יש למכונית ולמריצה ולתלת=אופן, הם יכולים להתמודד עם שאלה כמו זו שהובאה לעיל.

לסיכום, כבר בגן=ילדים יכולים לפתור מיגוון רחב של בעיות מילוליות בחיבור וחיסור ובכפל וחילוק. הילדים מפתחים לעצמם אסטרטגיות מאוד מעניינות לפתרון ברמות חשיבה שונות. הגננת יכולה לזמן לילדים לפתור בעיות מילוליות מסוגים שונים ולעזור להם להבין את משמעות הבעיות ולמצוא דרך לייצג אותן. רוב הילדים בגן יעבדו באסטרטגיות של "ייצוג ישיר" וישתמשו בחפצים למנייה. היכרות עם אסטרטגיות הפתרון של הילדים נותנת לגננת רעיונות גם איך לעזור לקדם כל ילד.

מקורות

שטיינברג, ר' (1989). התפתחות דרכי חשיבה מתמטית של ילדים בגילאי 8-5, החינוך וסביבו, שנתון סמינר הקיבוצים.

שטיינברג, ר', הוכנר, ש', טל, א' (1998). הבניית הוראת המתמטיקה על דרכי חשיבה של ילדים, מספר חזק, 16, 41-37 (חלק א') ו=17 (חלק ב').

Carpenter, T., Ansell, E., Franke, M., Fennema, E. & Weisbeck, L. (1993). A study of kindergarten children’s problem-solving processes. Journal for Research in Mathematics Education 24 (5): 428-441.

Carpenter, T. & Moser, J. (1984). The acquisition of addition and subtraction concepts in grades one through three. Journal for Research in Mathematics Education, 15: 179 -202
.
                                                      

חלק ממאמר זה הופיע בגרסה קודמת במאמר "התפתחות דרכי חשיבה מתמטית של ילדים בגילאים 8-5", על=ידי רותי שטינברג, בשנתון מכללת סמינר הקיבוצים, "החינוך וסביבו", חלק י"א 1989, באישור מכללת סמינר הקיבוצים.

  הערה : את הציורים השייכים לכתבה ניתן לראות בחוברת הד הגן *

חדשות

8
7/10/2014
בעמוד 156 פורסם לוח שנתי מרוכז לשנת ...
8
2/10/2014
בהמשך לדרישת הסתדרות המורים, הוחלט כי יוקפאו ...
8
30/09/2014
על המדינה היה לבצע את הבדיקה בזמן ולעלות ולהסדיר ...
8
28/09/2014
הושקה תכנית "מחשב נייד לכל מורה" בכפר ...
8
28/09/2014
הושקה תכנית "מחשב נייד לכל מורה" בעיר ...
עבור לתוכן העמוד